Нажав на кнопку "Скачать архив", вы скачаете нужный вам файл совершенно бесплатно.
Перед скачиванием данного файла вспомните о тех хороших рефератах, контрольных, курсовых, дипломных работах, статьях и других документах, которые лежат невостребованными в вашем компьютере. Это ваш труд, он должен участвовать в развитии общества и приносить пользу людям. Найдите эти работы и отправьте в базу знаний.
Мы и все студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будем вам очень благодарны.
Чтобы скачать архив с документом, в поле, расположенное ниже, впишите пятизначное число и нажмите кнопку "Скачать архив"
Подобные документы
Выработка современного абстрактного понятия групп. Простейшие свойства конечных нильпотентных групп. Подгруппа Фраттини конечной группы нильпотентна. Нахождение прямого произведения нильпотентных групп. Бинарная алгебраическая операция на множестве.
курсовая работа , добавлен 21.09.2013
Применение леммы Бернсайда к решению комбинаторных задач. Орбиты группы перестановок. Длина орбиты группы перестановок. Лемма Бернсайда. Комбинаторные задачи. "Метод просеивания". Формула включения и исключения.
дипломная работа , добавлен 14.06.2007
Разрешимость факторизуемой группы с разложимыми факторами. Свойства конечных групп, являющихся произведением двух групп, одна из которых группа Шмидта, вторая - 2-разложимая. Произведение бипримарной и 2-разложимой групп. Доказательство теорем и лемм.
курсовая работа , добавлен 22.09.2009
Сущность теории групп. Роль этого понятия в математике. Мультипликативная форма записи операций, примеры групп. Формулировка сущности подгруппы. Гомоморфизмы групп. Полная и специальная линейная группы матриц. Классические группы малых размерностей.
курсовая работа , добавлен 06.03.2014
Возведение в степень комплексного числа. Бинарная алгебраическая операция. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Базис, ранг и линейные комбинации для системы векторов. Кратные корни многочлена. Разложение многочлена на элементарные дроби.
контрольная работа , добавлен 25.03.2014
Первые упоминания о правильных многогранниках. Классификация многогранников, их виды, свойства, теоремы о развертках выпуклых многогранников (Коши и Александрова). Создание моделей правильных многогранников с помощью разверток и методами оригами.
курсовая работа , добавлен 18.01.2011
Понятие отражательной и вращательной осевых симметрий в евклидовой геометрии и в естественных науках. Примеры осевой симметрии - бабочка, снежинка, Эйфелева башня, дворцы, лист крапивы. Зеркальное отражение, радиальная, аксиальная и лучевая симметрии.
презентация , добавлен 17.12.2013
Группа G действует (слева) на множестве X, если для любых элементов g и х X определен элемент gх X, причем g2(g1х) = (g2 g1)х и ех = х для всех х X, g1, g2 G. Множество
Gх = {gx | g G}
называется орбитой элемента х. Орбиты любых двух элементов из X либо совпадают, либо не пересекаются, так что множество X разбивается на непересекающиеся орбиты. Если орбита одна -- все множество X, то говорят, что С действует транзитивно на X. Иначе говоря, группа G действует транзитивно на множестве X, если для любых двух элементов х, х" из X найдется элемент g из G такой, что gх = х".
Стабилизатором элемента х из X называется подгруппа
StG(x)= {g G | gх = х}.
Множеством неподвижных точек элемента g из G называется множество
Fiх(g) = {х X | gх = х}.
Мощности орбиты равна индексу стабилизатора в группе G.
Пусть К -- фиксированный куб в трехмерном евклидовом пространстве, G -- группа всех движений этого пространства, сохраняющих ориентацию и переводящих К в К. В группе G имеется тождественное движение, вращения на 120° и 240° вокруг четырех осей, проходящих через противоположные вершины куба, вращения на 180° вокруг осей, проходящих через середины противоположных ребер, и вращения на 90°, 180° и 270° вокруг осей, проходящих через центры противоположных граней. Итак, мы нашли 24 элемента в группе G. Покажем, что других элементов в G нет. Группа G действует транзитивно на множестве К0 вершин куба К, так как любые две вершины из К можно «соединить цепочкой соседних», а соседние можно перевести друг в друга подходящим вращением. Стабилизатор вершины x должен оставлять на месте также наиболее удаленную от нее вершину х". Поэтому он состоит из тождественного движения и вращений вокруг оси хх" на 120° и 240°. Следовательно, |G| = |К°| * || = 8 * 3 = 24 и, значит, все указанные выше вращения составляют группу G.
Группа G называется группой вращений куба. Докажем, что Вращения из G переставляют четыре самых длинных диагонали куба. Возникает гомоморфизм: ц: G > . Ядро этого гомоморфизма равно {е}, так как только тождественное движение оставляет каждую диагональ куба на месте. Поэтому G изоморфна подгруппе группы. Сравнивая порядки этих групп, получаем, что G .
Группы симметрий
Одним из наиболее употребляемых примеров групп и, в частности, групп перестановок, являются группы, которыми «измеряется» симметричность геометрических фигур как плоских, так и пространственных.
Группа симметрий тетраэдра.
Тетраэдр (рис. 1) имеет 4 оси симметрии l1, l2, l3, l4 3-го порядка, проходящие через его вершины 1, 2, 3, 4 и центры противолежащих граней. Вокруг каждой оси, кроме тождественного, возможны еще два вращения. Им соответствуют такие перестановки:
вокруг оси l1
вокруг оси l2
вокруг оси l3
вокруг оси l4
Кроме того, имеется 3 оси симметрии 2-го порядка, проводящие через середины А, В, С, D, Е, F скрещивающихся ребер. Поэтому имеется еще 3 (по числу пар скрещивающихся ребер) нетождественных преобразования, которым соответствуют перестановки:
вокруг оси AB ,
вокруг оси CD ,
вокруг оси EF .
Итак, вместе с тождественным преобразованием получаем 12 перестановок. При указанных преобразованиях тетраэдр самосовмещяется, поворачиваясь в пространстве; его точки при этом не изменяют своего положения относительно друг друга. Совокупность выписанных 12 перестановок замкнута относительно умножения, поскольку последовательное выполнение вращений тетраэдра снова будет вращением. Таким образом, получаем, группу, которая называется группой вращений тетраэдра.
При других преобразованиях пространства, являющихся самосовмещениями тетраэдра, внутренние точки тетраэдра передвигаются относительно друг друга. А именно: тетраэдр имеет 6 плоскостей симметрии, каждая из которых проходит через одно из его ребер и середину противолежащего ребра. Симметриям относительно этих плоскостей отвечают следующие транспозиции на множестве вершин тетраэдра:
Уже па основании этих данных можно утверждать, что группа всевозможных симметрий тетраэдра состоит из 24 преобразований. В самом деле, каждая симметрия, самосовмещая тетраэдр в целом, должна как-то переставлять его вершины, ребра и грани. В частности в данном случае симметрии можно характеризовать перестановками вершин тетраэдра. Поскольку тетраэдр имеет 4 вершины, его группа симметрий не может состоять больше чем из 24 преобразований. Иными словами, она либо совпадает с симметрической группой S4, либо является ее подгруппой. Выписанные выше симметрии тетраэдра относительно плоскостей определяют всевозможные транспозиции на множестве его вершин. Поскольку эти транспозиции порождают симметрическую группу S4, получаем требуемое. Таким образом, любая перестановка вершин тетраэдра определяется некоторой его симметрией. Однако этого нельзя сказать о произвольной перестановке ребер тетраэдра. Если условиться обозначать каждое ребро тетраэдра той же буквой, что и его середину, то, скажем, перестановки на множестве ребер
отвечают соответственно двум вращениям вокруг оси l1, и вращению вокруг оси АB. Выписав перестановки на множестве {А, В. С, D, Е, F} для всех преобразований симметрии, получим некоторую подгруппу симметрической группы S6, состоящую из 24 перестановок. Группа перестановок вершин тетраэдра и группа перестановок его ребер -- разные группы перестановок, поскольку они действуют на разных множествах. Но за ними «видна» одна и та же группа -- группа преобразований пространства, оставляющих тетраэдр на месте.
Группа симметрий куба. Симметрии куба, как и симметрии тетраэдра, делятся на два типа -- самосовмещения, при которых точки куба не изменяют своего положения относительно друг друга, и преобразования, оставляющие куб в целом на месте, но передвигающие его точки относительно друг друга. Преобразования первого типа будем называть вращениями. Все вращения образуют группу, которая называется группой вращений куба.
Имеется ровно 24 вращения куба вокруг различных осей симметрии.
В самом деле, при поворотах куба место нижней грани может занять любая из 6 граней куба (рис. 2). Для каждой из 6 возможностей -- когда указано, какая именно грань расположена внизу, -- имеется 4 различных расположения куба, соответствующих его поворотам вокруг оси, проходящей через центры верхней и нижней граней, на углы 0, р/2, р, Зр/2. Таким образом, получаем 6Ч4 = 24 вращений куба. Укажем их в явном виде.
Куб имеет центр симметрии (точка пересечения его диагоналей), 3 оси симметрии четвертого порядка, 4 оси симметрии третьего порядка и 6 осей симметрии второго порядка. Достаточно рассмотреть вращения вокруг осей симметрии.
а) Оси симметрии четвертого порядка --это оси проходящие через центры противоположных граней. Вокруг каждой из этих осей имеется по три нетождественных вращения, а именно вращения на углы р/2, р, 3р/2. Этим вращениям соответствуют 9 перестановок вершин куба, при которых вершины противоположных граней переставляются циклически и согласовано. Например, перестановки
отвечают поворотам вокруг оси
б) Осями симметрии третьего порядка являются диагонали куба. Вокруг каждой из четырех диагоналей , , , имеется по два нетождественных вращения на углы 2р/3, 4р/3. Например, вращения вокруг диагонали определяют такие перестановки вершин куба:
Всего получаем 8 таких вращений.
в) Осями симметрии второго порядка будут прямые, соединяющие середины противолежащих ребер куба. Имеется шесть пар противоположных ребер (например, , ), каждая пара определяет одну ось симметрии, т. е. получаем 6 осей симметрии второго порядка. Вокруг каждой из этих осей имеется одно нетождественное вращение. Всего 6 вращений. Вместе с тождественным преобразованием получаем 9+8+6+1=24 различных вращения. Все вращения куба указаны. Вращения куба определяют перестановки на множествах его вершин, ребер, граней и диагоналей. Рассмотрим, как действует группа вращений куба на множестве его диагоналей. Различные вращения куба переставляют диагонали куба по-разному, т. е. им соответствуют различные перестановки на множестве диагоналей. Поэтому группа вращений куба определяет группу перестановок на множестве диагоналей, состоящую из 24 перестановок. Поскольку куб имеет лишь 4 диагонали, группа всех таких перестановок совпадает с симметрической группой на множестве диагоналей. Итак, любая перестановка диагоналей куба соответствует некоторому его вращению, причём разным перестановкам соответствуют разные вращения.
Опишем теперь всю группу симметрий куба. Куб имеет три плоскости симметрии, проходящие через его центр. Симметрии относительно этих плоскостей в сочетании со всеми вращениями куба дают нам еще 24 преобразования, являющихся самосовмещениями куба. Поэтому полная группа симметрий куба состоит из 48 преобразований.
Группа симметрий октаэдра. Октаэдродин из пяти правильных многогранников. Его можно получить, соединяя центры граней куба и рассматривая тело, ограниченное плоскостями, которые определяются соединительными прямыми для соседних граней (рис. 3). Поэтому любая симметрия куба одновременно является симметрией октаэдра и наоборот. Таким образом, группа симметрий октаэдра такая же, как и группа симметрий куба, и состоит из 48 преобразований.
Группа симметрий правильного многогранника состоит из 2l преобразований, где l -- число его плоских углов. Это утверждение имеет место для всех правильных многогранников, его можно доказать в общем виде, не находя всех симметрий многогранников.
Пусть G – группа, X – некоторое множество и f: G × X → X
– отображение. Обозначим f(g, x) через gx. Будем говорить, что задано действие G на X (или G действует на X), если (gh)x = g(hx) и ex = x для всех g, h G, x X. При этом множество X называется G-множеством .
Замечание. Более точно, так определенное действие называется левым . При правом действии рассматривается отображение f: X × G → X, вводится обозначение f(x, g) = xg и требуется выполнение условий: x(gh) = (xg)h и xe = x. Понятно, что все, сказанное ниже о левом действии, справедливо (с соответствующими изменениями) и для правого. Более того, отметим, что формула xg = g−1 x устанавливает взаимно однозначное соответствие между левыми и правыми действиями G на X (т.е., грубо говоря, левые и правые действия групп – это “одно и то же”). Правое действие естественно возникнет в главе 10 .
Подмножество Y X называется G-подмножеством , если GY Y (т. е. gy Y для всех g G, y Y).
Подмножество G-множества X вида O(x) = {gx | g G} называется орбитой элемента x X. Орбиты совпадают с минимальными G-подмножествами в X. Отношение “лежать в одной орбите” является отношением эквивалентности на X, поэтому орбиты образуют разбиение множества X.
Для фиксированного x X элементы g G, такие, что gx = x, образуют подгруппу в G, которая называется стаби-
лизатором (или стационарной подгруппой) элемента x и обозначается через St(x).
Орбиты и стабилизаторы связаны следующим образом:
Предложение 7.1 |O(x)| = для любого x X.
Пример. Пусть X = G и G действует на X сопряжением, т. е. (g, x) 7→gxg−1 . Орбита при таком действии называется
классом сопряженных элементов, а стабилизатор St(x) – централизатором элемента x (обозначение – C G (x)). Очевидно, C G (x) = {a G | ax = xa}. Кроме того, если группа G конечна, то
CG (x) |
|||||
где при суммировании x пробегает множество представителей классов сопряженных элементов (т. е. берется по одному элементу из каждого класса).
С использованием этого действия доказывается
Теорема 7.2 (Теорема Коши) Если порядок группы G делится на простое число p , то в G существует элемент порядка p .
7 .1 . Установите эквивалентность следующих двух определений действия группы G на множестве X:
1) Действие G на X – это отображение G×X → X, (g, x) 7→gx такое, что (g 1 g2 )x = g1 (g2 x) и ex = x для всех g1 , g2 G, x X.
2) Действие G на X – это гомоморфизм G → S(X) (где S(X)
– группа всех биекций X на себя).
7 .2 . Докажите, что если O(x) = O(y), то St(x) сопряжен с St(y). Верно ли обратное?
7 .3 . Опишите орбиты и стабилизаторы следующих действий:
1) Действие G на себе левыми сдвигами (т.е. (g, x) 7→gx);
2) Действие G на себе правыми сдвигами (т.е. (g, x) 7→xg −1 );
3) Действие H на G левыми (соответственно правыми) сдвигами, где H < G;
x X St(x).
4) Действие G сопряжениями на множестве своих подгрупп (т.е. (g, H) 7→gHg −1 );
5) Действие G на множестве правых смежных классов G/H, где H < G (т.е. (g, xH) 7→gxH);
6) Естественное действие группы G = GL(V) невырожденных линейных операторов в линейном пространстве V на: а) V , б) V × V , в) множестве всех линейных подпространств в V ;
7) Естественное действие группы G = O(V) ортогональных линейных операторов в евклидовом пространстве V на: а) V , б)
8) G = hσi – циклическая подгруппа в S n , X = {1, 2, . . . , n}.
7 .4 .* Изоморфизм действий группы G на множествах X и Y – это биекция f: X → Y такая, что f(gx) = gf(x) для всех g G, x X. Действие G на X называется транзитивным , если для всех x, y X найдется такой g G, что y = gx (т.е. X
– единственная орбита этого действия). Докажите, что всякое транзитивное действие G на X изоморфно действию на G/H для подходящей подгруппы H. Когда действия G на G/H1 и G/H2 изоморфны?
7 .5 . Найдите группу автоморфизмов естественного действия группы G на множестве G/H.
7 .6 . Докажите, что порядки классов сопряженных элементов конечной группы делят ее порядок.
7 .7 .* Докажите, что центр конечной p-группы нетривиален.
7 .8 .* Докажите, что если |G| = p2 , то G абелева (т.е. G изоморфна Z(p2 ) или Z(p) × Z(p)).
7 .9 .* Докажите, что если G неабелева и |G| = p3 , то |C(G)| = p.
7 .10 . Ядро действия G на X – это ядро соответствующего гомоморфизма G → S(X).
а) Проверьте, что ядро действия G на X равно б) Найдите ядро действия G на G/H, где H < G.
7 .11 .* Пусть H < G, причем = m < ∞. Докажите, что в G существует нормальный делитель N конечного индекса, содержащийся в H, причем делит m! и делится на m.
Группы симметрий правильных многогранников
Положим O(3) := {A GL(3, R) | At A = E}, SO(3) := O(3) ∩
SL(3, R). Пусть M R3 . Группа вращений M – это
Grot (M) = {g SO(3) | gM = M};
группа симметрий M – это
Gsym (M) = {g O(3) | gM = M}
(т.е. Grot (M) = Gsym (M) ∩ SO(3)).
7 .12 . Докажите, что O(3) SO(3) × Z(2).
7 .13 .* Найдите |Grot (M)| и |Gsym (M)| для каждого из правильных многогранников (тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра, икосаэдра). Здесь и далее предполагается, что M вложен в R3 так, что его центр совпадает с началом координат.
7 .16 .* Пусть M – куб или октаэдр. Докажите, что Grot (M) S4 .
7 .17 .* Пусть M – икосаэдр или додекаэдр. Докажите, что
Grot (M) A5 .
